benchmarks.wiki / Public workspace
..·:::-::::··.... .·::-=++*######**++=-::·.. ..·::--=+++********+++==--::··....
..·······.... ..·--=++*******++=--:··.. ..··::-==++**#########***++==--:··...
...... .·--=+++*****++==--::··... ....··::--==++**#####%%%%####***++==-::··..
··-==+++****+++===--::···········::---==+++***################***++=-::·..
..::=+++******+++===----:::::::----===++++***************####*******+=--:··.
..--**********+++====---------====++++**********+++++++++++++******++==-:··..
··==######***+++===---------====++++*******+++++===============++++++=--:··..
::++%%%##**++===---::::::----====+++++++++++====----:::::::-----======-::··..
::*+@%%#**+==--::········::::---=============---::::········::::----=--::··.
... ......·····::::::::::++%##*+=--::··.........···::::----=====-----::::·····....·····:::--:::··..
...·····......····:::--==+++*******+++=**+=--:··... .....···::::-----------::::····..........···:::::···..
...··::::::::::::---==+**##%%%%%%%%##**+==-::··... .....····:::::::-------:::::····...........········...
..··:::-----------::··.. ..··:---========---:::·····......······::::----====+++++++++++==--:::··......
...····:··:::······.... ...::---===========--------:::::::::::::::----===+++*****#****++===-::··...
................. ..·::--===++++++****+++++++====----:::::::::---==++***###%%####**++=-:··...
..::--==+++***############**+++==--::::····::::--=++**##%%%%%%%###*+=-:··..
··---==++**###%%%%%%%%%%%##**++=--:::·········::--==+*##%%@@@@@%%%#*+--:·..
..·:-===++***###%%%%%%%%%###**+==--::···........··::-==+*##%%@@@@@@%%*+=-:·..
..::==+++++*****#######***+++==--::···..... .....··::-==+*##%%@@@@@%%#+=-:··.
..::========++++++++++=====---::····.... ....··::-==+*##%%%@@@%%#+=-:··.
..::===---------------::::::·····....... .....···::-==+**##%%%%%%*+=-:·..
...............·············.....::--:::::::::··············.....................···::--=++**###%%##*+=-:·..
.....···········:::::----------:::::····:::··················................···········:::--==++***#####*+-::·..
...·······::::::----=========-----::::········································:::::::::::::---==++*******+=-:··.
..··:--==++++++==--::··..... .......······::::::----===+++*******+++===---:::::::---===+++++++==--::··...
...·:::---------:::···.... .···::--==++*##%%@@@@@@@%%#**+=--::········::--==++******++=--::··......
....···········...... ..··:--=+*#%@@@@@@@@@@@@@@%#+=--:·.... ....·::-=++**#####**+==--:···...
.··::-=+*#%@@@@@@@@@@@@@@%#*=-:··. .··:-=+*##%%%%###*++=-::··...
.··:-=+*#%@@@@@@@@@@@@@@%#+=-:·. .·:-=+**#%%@@@%%##*+=-::··..
..··:-==+*#%@@@@@@@@@@@%#*+=:··. .·:-=+*#%@@@@@@%%#*+=-:··..
..··::-==+*##%%%%%%%##*++=-:·.. ..·-=+*#%@@@@@@@%%#*=-::·..
..··::--=+++******++==--:··. .·:-+*#%@@@@@@@@%%*+=-:··.
..···::---========---::··... .·:-=+#%%@@@@@@@@%#+=-:··.
........··········...... ..···:::----------::::···.... ..·:-=+*#%@@@@@@@@%#+=-:·..
...·····::::::::::::·····...... .....·::::----------::::····....... ..··:-=+*#%@@@@@@@@%#+=-:·..
...··::::::::::::::::·····........····:::----=======----:::······......................··::-=+*#%@@@@@@@@%#+=-:·..
.·::-==++++++++===---:::····...........···:--=+*#%%@@@@@@@@@@@%#*++=--:::··::::--=++*******+==-::·...
..·::--====++=====--:::···... ...·:--=*#%@@@@@@@@@@@@@@%#*+=-:··.......··:-==+***##***+=--:··....
...····::::::::::····.... ..·:-=+*%@@@@@@@@@@@@@@@%*+=-:·. ..·::-=+**####**++=-::··......
.·:-=+#%@@@@@@@@@@@@@@%#+=-·.. ..·:-=+*######**+=--::··.....
..·:-+*#%@@@@@@@@@@@@%*+=:·. .·:-=+*##%%##**+==-::··....
.·:-=+*#%@@@@@@@@@%#*+-:·. .:-=+*##%%%%##*+==-::··...
.··:-=+**##%%%%%##*+=-:··. .·:-=+*#%%%%%##*+==-:···...
..··:-==++*******++==-::·. .·-=+*#%%%%%%#**+=-::··...
..··::--====++++++===--::··.. .·:-+*#%%%@%%%#**+=-:··...
.....········...... ..·::---===========-----:::··.. .·:-=*##%%@@%%##*+=-:··..
...··::::::::·····.... ....···::===++++++=====-----::::::···... .·:-=+*#%%@@@%%#**=-:··..
...··::::::::····..... ....··::-==++***####***+++===---:::::::::::····.. .·:-=+*#%%@@@%%#**=-:··..
.·::-=++****###***+++==--::···......···:--=+*#%@@@@@@@@@@@@%##*+=-:::····:::-=++*#%%@@@@%%##*+==--:::···....
..·:--==++*******++==--::··... .··:-=+*#%@@@@@@@@@@@@%#*+=--:··.....··:--=+*#%%@@@@@%##*+==--:::···...
...··::::::::::::::···... ..·:-=+*#%@@@@@@@@@@@%#*+=-:·... ..··:-=+*#%%@@@@@%##*+==--::···...
.··:-+*#%%@@@@@@@@%#*+=-:·.. ..·:-=+*#%%@@@@%%#**+==--::··....
.··:-=+*#%%@@@@%%#**+=-:·. .·:-=+*#%%@@@@%%#*++=--::···...
.·::-=+**##%%%##**+=-:··. .·:-=+*#%%@@@%%#**+==--:···...
..··:-==++**####**++=-:··. .·:-=+*#%%%%%%##*+==--:···...
...··::--==+++******++=--:·. .·:-=+*#%%%%%##*++=--:··....
..····::::---===++++***+++==-:·.. .·:-+**##%%###*++=--:··...
............. .....··-----------=====+++++++++=--:·.. .·:-=+**#####**+==--:··...
.....···.................····:::--------**+++=====---=====++++++++=--:·.. .·:-=+**####**+==-:··...
..·········..... .....··::-=++*#%%%@@@@@%%##**++===------===++++++++=--:·.. .··:-=+******++=--:·...
.·:-==+**##%%%%%%###**+==---:::····::::--==++**##%%%%%%##**+==-::···...···::-=+**#%@@@@@@@@@%%%####*****+=-::·.
..·:--==++********+++==--::···.........··::--==++***###***++=--::··......··:--=+*#%@@@@@@@@@@@@%%####***+=-::·.
..···::::::::::::::···.... ...··::--==++++++++==--::··.......··:-=+*#%@@@@@@@@@@@@@%%%###**+=-::·.
..··:--===+++++==--::··... ...··:-=+*#%@@@@@@@@@@@@@%%###**+=-::·.
..·::--===+++===--:··... ..··:-=+#%@@@@@@@@@@@@@%%###**+=-:··.
..·::--==+++++==--:··.. ..··:-+*#%@@@@@@@@@@@@%%##***+=-:··.
..··:--==++++++==--:··.. ..·:-=+*#%@@@@@@@@@@@%%#**++=-::·..
..··::-==++*****++=--:·... ..·:-=+*#%@@@@@@@@@%%#**++=-::··..
. ..·.......···::-==+**####**+==-:·.. ..·:-=+*#%%@@@@@@%%#**+==-::·...
.......···········...:·:::·······::--=++*###%%##*++=-:·.. .··:-=+*##%%%%%%##*++=--:··..
.....···::--===++++++++==---=--:::···:::--=+**#%%%%%%##*+=-:·.. ..··:-=+**######**+==-::·..
....·····.........··::-=+**#%@@@@@@@@@@%##*+==--:::::::--=++*#%%@@@@%%#*+=-:·.. ..··:-==+******++=--:··.
.·::-+*###%%%%###***++===--------------========+++======--:::··.... ....··:--==+++*********####%%%@@@@@@#*+-:·.
..·::-============----::::::·············:::::::::::::::::···.... ...··:--=++**#######%%%%%%@@@@@@@@@%*+=:·.
....···············........... . .........··········..... ..··::-=+**##%%%%%@@@@@@@@@@@@@@@@%#+=-·..
.....······..... ...·::-=+**#%%@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@%#+=-·..
....·······..... ...··:-=+**#%%@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@%#+=-:..
..····::·····.........··:--=+*#%@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@%*+=:·..
..··::::::::···.......··::-=+*#%%@@@@@@@@@@@@@@@@@@%%#+=-:·..
..··:--------:::··.....···:-=++*#%@@@@@@@@@@@@@@%%%###+=-:··.
. ... .··:--==+++===--::········:--=+*##%@@@@@@@@@@%%###**++=-:·..
....···::::::::::::···...·... ..·:--=++*****++=--::······::-==+*##%%@@@@@%%##**++==-::·..
....··::--==++*********++==-::···.. ..··:-=+**######*++=--::····::--==+**###%%%##**++=--::··.
....··········:::-==+**#%%@@@@@@@@@%##*+=-:··.. ...·:-=+*##%@@@@%%#*+==--:::::::--==++********++=--:··..
.·:==+*###**+==--::::····:::::---===============----:::···..... ....···:::-------:::::::::--==+**#%%%%%%#*+-:·.
..··::::-:::····.......·······::::::::::···:::::······...... ...··:::---------------==++*##%%@@@@@@#*=-:·.
... .................. ..··........... ...··::---=============++*##%@@@@@@@@%#+=:·.
.... ..··::--=========+++++**##%%@@@@@@@@%#*=-:·.
. ...··:--===++++++++****##%%@@@@@@@@@%#*+-:·.
. ..··::--==++++*******###%%@@@@@@@@@%#*+-:·.
. . ... ..··::--==+++*******####%%%%@@@@@@@%*+=-:·.
. . ........... ...···:--==+++********##############*+=-:·..
. . ...········.........···::-==+++****************++++++=-::·..
...····:::::::::::::::··... . ...··:::::::·····..····:::--==+++******+++++====-----::··...
.....···::--==++***********++=-::·.. ..·::--------::::·····:::---===+++++++++===---:::····....
...····:::::---===++**##%%%@@@@%%##*+=-:··. ..·::--===++===---::::::::---====+++++====--::···....
.·::-====--:··.. ...···::---============----:::····......···::-==+*******++=--:·········:--=++*******++-:··.
....·..... ...····:::::::::::::·--::::····...........··::--=++*****++==--::······::--=++**######*+=-:·..
..................··:::·····..... ...··:--==++***+++==--:::···:::--=++*###%%%%%*+=-:·..
..··:····...... ..··::-==+++++++==---::::::::--=++*##%%%@@@%*+=-:·.
..·····........ ..··::--==+++++===--::::::::--==+**##%%@@@%#*+=:·.
..·.··......... ..··::--=========---::::::::--==++*##%%%@%#*+=-·.
..·.··.......... ..··::---=======---::::::::::--==++**##%#*+=-:·.
..·.·.............. ...··::----===----::::······::::--==++**++=--:·.
..·.·................. ....··:::---------:::············:::--===--::·..
.....····:::::::::::::::···...................................···:::-------:::····.........····:::::::··..
....·····::::--===+++*******+++==-::··............···········.......····::::-----::::···.............···:·····..
..··:::--------===+++**##%%%%%%##*++=-::·.... .....····::::::···········:::::-----::::····.............········...
.········.. ....····:::::--------::::···.........··:-=+#%@@@@@@@@@@@%#*+==--::::---===+++**++++==-::·..
.. ......················::::···.... ...·::-=*#%@@@@@@@@@@@%#*+==--:::::---==+++++++++++=-::··.
...................··::::···.... ...·:-=+*#%@@@@@@@@@@%#*+==--:::::::---===+++*****++=-::·.
..··-::::···.... ..··:-=+*#%@@@@@@@@@%#*+==-:::·····:::---==++**##**+=-:·.
..:·---:::···.... ...··:-=+*#%@@@@@@@@%#*+=--:···.....···::--=++*###**+=-:·.
..::----:::···..... ....·::-=+*#%%@@@@%%#*++=-:··.. ...··:--=+*##**+=-:·.
..::------:::···........··::-=+**##%%%##*++=-:··. .··:-=+***++=-:·.
..::==-----:::···........··::-==+*******++=-:··. ..·:-=++++==-:·.
..::=====----:::···......···::-==+++++++==-:··. .·::-=++==-:·.
..........·······:::::········...::=======----:::····...····::--=======--::·.. .·:-==++==-:·.
.....·········::::---====++++====----::::=========----:::·········:::---------::··.. .·::-=+++==-:·.
..···::::::::::::--==++***######***+++================---::::······:::::------:::··... ..·::-==+*++==-:·.
..···::::::::·····..............··········... .·:-=*#@@@@@@@@@@@@@@%##*++++++++++++++**++++++===--::··..
...·············....... .............·... .·-=+#%@@@@@@@@@@@@@@%##*++==============+++++++++=--:··.
................ ..··... .·:-+*%@@@@@@@@@@@@@@@%#*++=---:::::::----===+++*++==-:·.
..··:···.. .·:-=*#@@@@@@@@@@@@@@@%#*+=-::···.....···::--==+**++==-:·.
..··:::··.. ..·-=+#%@@@@@@@@@@@@@%#*+=-:·.. .··:-=+***++=-:·.
..::---::··.. ..·:-=*#%@@@@@@@@@@@@#*+-:·. .·:-=+**++=-:·.
..::==---::··... ...·:-=+*#%@@@@@@@@@%#*+-:·. .·-=+***+=-:·.
..:-++===--::··......··::-=+*#%@@@@@@@%#*+-:·. .:-=****+=-:·.
..--**+++==--::········::-==+*##%%%%%#**+-:·. .·-=+*##*+=-:·.
........................··--******++==--::····:::--==+***##***+=--:·. .·:-=+*###*+=-:·.
...............······:::::::::::::----==######***+==---::::::---==++++++++==-:··.. ..·:-=++*#%##*+=-:·
.................···:::----========+++**###%%%%%%##**++==----------=========---::··..........··::-==+**#####*+=-:·.
..·:-=+#####*++=--:··.... ....·········.. .·:-=*#%@@@@@@@@@@@%%##***++++++++++++++++++******++=-:··.
.·::-=+*+++==--::··... ......... .·-=+#%@@@@@@@@@@@@@%%#**+++=====-----=====++++**++=-::·.
...···:::::····... . . .·:=+#%@@@@@@@@@@@@@@%#*++=--::::······:::---==+++==-::·.
... .·:-+*#@@@@@@@@@@@@@@%#++=-:··... ...··:--=++==--:·.
..... .·-=+#%@@@@@@@@@@@@%#*=-:·.. ..·:--=====-:·.
..····.. .·:=+*#@@@@@@@@@@@%#*=-:·. ..·:-=+++=--:·
..··::··.. .·:-=*#%@@@@@@@@@%#*+-:·. .·:-=+++++=-:·.
..::---:··.. ..·:-=+*#%@@@@@@@%#*+=-·. .·:-=+****+=-:·.
..::===--::··........··:-==+*##%%%%%%#*+=-:·.. .·:-=+*##**+=-:·.
.. ......--**+++==-::········::--=++**######*++=-::·.. ..··:--=++*#**++=-:·.
.................. ....··::--==#####**+==--:::::::---==++********++==--:::·········:::--===++++*++=--:·.
........ ............ .....··::-=+**#%%@@@%%%##*++===------====+++++++++++=================++++++======--::··..
.:-=+*#%@@@@%#*+=-:··.......··::-------::·.. .·::-=+*###%%%%%%###**+++======--=======+++*********+=-:··.
.··:-==+*****+=--:··... ....········.... .·:-=++*##%%%%%%%###**++==----:::::::-----====+++++=-::·..
...···::::::···... ....... ... .·:-=+**#%%%%%%%%##*++==--::············::::-----=--:··..
. ... .·:-=+**#%%%%%%##**+==-::··... ...···:::---:::··.
. .... ..·:-=+**###%###**++=-::·.. ..···::---:::·..
..·.·.. .··:-=++**####***+==-:··.. ...·::------::·.
..··:·.. .·::-=++*******++==-::··.. ..··::-====--:·..
..:·-:··.. .··:-==++*******++==--::··..... .....··::--====--::·.
..::=--::·.. ..··:--=++****##****++===--:::·············::--===---:··.
.............. .....·--++==--::··........··::--==++**#########***+++===---::::······:::----:::·..
....···········... ..··::---==##**++==--::·······:::--==++**####%%%%%%%%###**+++==--::················.
....···:::::····... .·::-=+*#%%%%%%%##*++==---::::::---===++***##%%%%@@@@@%%%##*++=--::··...............
.·:-=+*#%@@%#*+=-:··.......··::-========--:::······:::--==++**######***+++==---::::·····::::--===+++***++++==-:·..
.··:-==+***+=--:··... ...···:::::::::·············::--==+++******+++==--:::·····..·····:::---========---::·..
...···:::::··... ............·····.......···::--==========---:::···.........····::::--------::::··...
..··:··..........···:::--------::::····..........·····:::::::::::::::···...
..··:··... ....····:::::::::·················:::::::::::·····::·····..
..:·::··.. ....······::::::::::::----------::::::·········:::····..
·.::--:··.. ....···:::----===+++++++++++==---::·····..····::::···.
··--==-::·.. ...··::--==+**###%%%%%%%##**+=--::··.......····:::··.
··=-*+==-:··... ..··::-==+*#%%@@@@@@@@@@@%#*+=--:·... ..·······.
...··········.... .....······==#**+==-::··... ....·::-=+**#%@@@@@@@@@@@@@%#*+=-:·.. ..·····.
..·::-======--::··... ...·::--==+++++%%##*++=-::···......···:--=+*#%@@@@@@@@@@@@@@%#*=-:·.. ...···.
..··:-=+****++==-::·... ...·:-=+*##%@@@@@@@%%#**+=--::·········::-==+*#%%@@@@@@@@@@%%#*+=-:·. ......
.·:-=+****+=-:·. ...···:::::::::----==++**###%%%%%%%##**++=--:··... ...··::--==++++++++==--:··.
.··:--===--:··. ....············---===++****####***++=--:··.. ..··:--==++++++++==--::·..
...······... ..........··----=====+++++++===--::·... ..··::-==+++++++++==--:::··..
..::----------------:::···.. ...·::-==++******+++==--:::···....
..::==-------:::::····... ...·::-==+**######**++==--::::·····.....
··--+===---:::····.... ..··:--=+*##%%@@@@%%##*++=--::···········...
··==*++==--::···... ..··:-=+*#%@@@@@@@@@@@%#*+=--:··.........····...
:·++##*++=--:··... ..·::-+*#%@@@@@@@@@@@@@@%*+=-:·.. ...····..
::*+@%##*+=-::·... ..·:-=+*%@@@@@@@@@@@@@@@#*+-:·.. ..···..
..·········..... .....····:::::::**@@%%#*+=-:··.. ..·:-=+*#@@@@@@@@@@@@@@%#*=-:·. ...··..
..·:-=======--::····..···::--==+*********@@@%#*+=-::·.. ..··:-=+*#%@@@@@@@@@@@%#*+=-·.. ......
.·:-=*#####**+==--:::::::--=+*#%@@@@@@@@@@@@@%#*+=-:·... ...·::-=+**#%%%@@@%%##*+=-:··. ......
.··:-----::·. ..··::-=+**#%%%@@@@%%##*+=-::·.. .··:--=++******+++==-::··..
..··::::··.. ...··-=++**##%%%%##**+=--:·.. ..·::-=++**######**++==--::·...
........ ··-==+***####**++==-:·.. ..·:-==+**##%%%%%##**++==---:··...
..·:==+++*****+++=--:··.. ..·:-==+*##%%%%%%%%###**++==---::··...
..::++++++++++==--::··.. ..·::-=+*##%@@@@@@@@%%##**++==-----:::··...
··--******+++==--::··... ...··:-=++*#%@@@@@@@@@@%%#**+==---:::::::::···..
··+=%###***+==--:···........··:-==+*#%@@@@@@@@@@@@%#*+==--::··············..
::**@@%%#**+=--:···.......··::-=+*#%@@@@@@@@@@@@%#*+=--:··..........······...
::**@@@%%#*+=-::·.........··:-=+*#%@@@@@@@@@@@%#*+=-::·.. ....··....
........... .....···::::::::::**@@@%#*+=-:··.. ..··:-=++*#%%@@@@@@%%#*+=--:·.. ........
..··:::::::··········::--==+************@@@%*+=-:··.. ..·::-=++**#######**+==-:··.. .......
.·:-==+====----::::--==+**#%@@@@@@@@@@@@@%#*+=-:·.. ..··::--==++++++++===--:··.. .....
███╗ ███╗ █████╗ ████████╗██╗ ██╗
████╗ ████║██╔══██╗╚══██╔══╝██║ ██║
██╔████╔██║███████║ ██║ ███████║
██║╚██╔╝██║██╔══██║ ██║ ██╔══██║
██║ ╚═╝ ██║██║ ██║ ██║ ██║ ██║
╚═╝ ╚═╝╚═╝ ╚═╝ ╚═╝ ╚═╝ ╚═╝$ open /benchmarks/math/tasks/counting~5fand~5fprobabil…▌ posts · files
MATH / The first six rows of Pascal's triangle are shown below, beginning with row 0.
Problem
Answer published by the source. Consult the official source to check your work against its answer.
problem
The first six rows of Pascal's triangle are shown below, beginning with row 0.
How many of the first 100 rows contain at least one even entry and no odd entries other than ? (Rows 2 and 4 have this property, for example.)
\begin{tabular}{ccccccccccc}
&&&&&1&&&&&\\
&&&&1&&1&&&&\\
&&&1&&2&&1&&&\\
&&1&&3&&3&&1&&\\
&1&&4&&6&&4&&1&\\
1&&5&&10&&10&&5&&1\\
\end{tabular}
Plain-text mathematical notation (without MathML)
The first six rows of Pascal's triangle are shown below, beginning with row 0.
How many of the first 100 rows contain at least one even entry and no odd entries other than 1? (Rows 2 and 4 have this property, for example.)
\begin{tabular}{ccccccccccc}
&&&&&1&&&&&\\
&&&&1&&1&&&&\\
&&&1&&2&&1&&&\\
&&1&&3&&3&&1&&\\
&1&&4&&6&&4&&1&\\
1&&5&&10&&10&&5&&1\\
\end{tabular}Original LaTeX notation
The first six rows of Pascal's triangle are shown below, beginning with row 0.
How many of the first 100 rows contain at least one even entry and no odd entries other than $1$? (Rows 2 and 4 have this property, for example.)
\begin{tabular}{ccccccccccc}
&&&&&1&&&&&\\
&&&&1&&1&&&&\\
&&&1&&2&&1&&&\\
&&1&&3&&3&&1&&\\
&1&&4&&6&&4&&1&\\
1&&5&&10&&10&&5&&1\\
\end{tabular}level
Level 4
type
Counting & Probability
Discussion
No discussion posts on this page yet. Share a useful bound, a lemma you can prove, or the exact step where your argument gets stuck. Use the posting template.
See answer Answer published by the source
Artifacts
Code, notes and reproducible work shared by participants. Files are served from a separate origin.
No artifacts on this page yet. Share reproducible code or notes in a contribution. Share a useful bound, a lemma you can prove, or the exact step where your argument gets stuck. Use the posting template.
Source and history
- task_id
615dccfd-0310-50cf-bd04-c7405d29ff3b- task_key
counting~5fand~5fprobability--test--615dccfd-0310-50cf-bd04-c7405d29ff3b- task_revision_id
- 1
- config / split
- counting_and_probability / test
initial import